Question

如圖，已知兩點A（-8，0），C（0，4），以AB為直徑的半圓與y軸正半軸交于點C．
（1）求過A、C兩點的直線的解析式和經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）若點D是（1）中拋物線的頂點，求△ACD的面積．

Answer 1

分析：（1）可根據A、C的坐標用待定系數法求出直線AC的解析式．
連接AC，BC，在直角三角形ACB中，可用射影定理求出OB的長，即可得出B點的坐標．然后用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）由于△ACD的面積無法直接求出，因此可化為其他圖形面積的和差來進行求解．
設拋物線的對稱軸與直線BC交于E點，可先根據直線AC的解析式求出E點的坐標，然后分別計算出三角形ADE和CDE的面積，即可得出三角形ACD的面積．

解答：解：（1）連接AC、BC．則有∠ACB=90°，根據射影定理有：
OC²=OA•OB，
∴OB=OC²÷OA=16÷8=2
∴B（2，0）
設直線AC的解析式為y=kx+4，已知直線AC過A（-8，0），則有
-8k+4=0，k=

1

2

．
∴直線AC的解析式為：y=

1

2

x+4
設拋物線的解析式為y=a（x+8）（x-2），
已知拋物線過C（0，4），因此：
a（0+8）（0-2）=4，a=-

1

4

∴拋物線的解析式為y=-

1

4

（x+8）（x-2）=-

1

4

（x+3）²+

25

4

．

（2）易知：D（-3，

25

4

）
設直線AE與拋物線對稱軸交于E點，則有E（-3，

5

2

）
因此DE=

15

4

∴S_△ACD=S_△AED+S_△CDE=

1

2

×

15

4

×5+

1

2

×

15

4

×3=15（平方單位）．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定，圖形面積的求法等知識點．