Question

如圖①，P為△ABC內一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．

（1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE丄CD，垂足為E．試說明E是△ABC的自相似點；（4分）

（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如圖③，利用尺規作出△ABC的自相似點P（不寫出作法，留作圖痕跡）；（3分）

②若△ABC的內心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．（3分）

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，

∴CD=AB，

∴CD=BD，

∴∠BCE=∠ABC，

∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠ACB，

∴△BCE∽△ABC，

∴E是△ABC的自相似點；（4分）

（2）①如圖所示，

作法：①在∠ABC內，作∠CBD=∠A，

②在∠ACB內，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，

則P為△ABC的自相似點；（3分）

②∵P是△ABC的內心，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∵△ABC的內心P是該三角形的自相似點，

∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，

∴∠A+2∠A+4∠A=180°，

∴∠A=，

∴該三角形三個內角度數為：，，．（3分）