Question

17．情境觀察：

如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點F．
①寫出圖1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
②線段AF與線段CE的數量關系是AF=2CE．
問題探究：
如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點E．
求證：AE=2CD．
拓展延伸：
如圖3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，點D在AC上，∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，DE⊥CE，垂足為E，DE與BC交于點F．求證：DF=2CE．
要求：請你寫出輔助線的作法，并在圖3中畫出輔助線，不需要證明．

Answer 1

分析 情境觀察：①由全等三角形的判定方法容易得出結果；
②由全等三角形的性質即可得出結論；
問題探究：延長AB、CD交于點G，由ASA證明△ADC≌△ADG，得出對應邊相等CD=GD，即CG=2CD，證出∠BAE=∠BCG，由ASA證明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．
拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延長線于G，同上證明三角形全等，得出DF=CG即可．

解答 情境觀察：
解：①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
故答案為：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB
②線段AF與線段CE的數量關系是：AF=2CE；
故答案為：AF=2CE．
問題探究：
證明：延長AB、CD交于點G，如圖2所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠GAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADG=90°，
在△ADC和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠ADG}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\\{∠CAD=∠GAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADG（ASA），
∴CD=GD，即CG=2CD，
∵∠BAC=45°，AB=BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBG=90°，
∴∠G+∠BCG=90°，
∵∠G+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBG=90°}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{∠BAE=∠BCG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CBG中（ASA），
∴AE=CG=2CD．
拓展延伸：
解：作DG⊥BC交CE的延長線于G，
如圖3所示．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．