Question

設a，b都是正整數，若二次函數y=a²+bx+1的圖象與x軸有兩個交點，且這兩個交點的橫坐標x₁，x₂，滿足-1＜x₁＜x₂＜0，
求：正整數a，b的最小值及此時x₁，x₂的值．

Answer 1

【答案】分析：先根據根與系數的關系得到x₁+x₂=，x₁x₂=，再利用-1＜x₁＜x₂＜0得到（1+x₁）（1+x₂）＞0，進而得到（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁x₂=1-=＞0，可推出a、b的取值范圍值，進而求出a、b的值．
解答：解：解法1：依題意，x₁，x₂為方程ax²+bx+1=0的兩實根，
則b²-4a＞0①
x₁+x₂=，x₁x₂=②，
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，
即（1+x₁）（1+x₂）＞0，
∴（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁x₂=1-=＞0，
而a＞0，
∴a-b+1＞0，即：a＞b+1，又a，b都是正整數，則a≥b③，
由①得，b＞2④，
由③、④得a＞2，即＞2，
∴a＞4，因此正整數a的最小值為5．
由④得：b＞2＞4，
∴正整數b的最小值為5，
當a=b=5時，ax²+bx+1=0的根為x=，
∴，
解法2：依題意：y=ax²+bx+1=a（x-x₁）（x-x₂），
令x=-1得：a（-1-x₁）（-1-x₂）=a-b+1，
即a（1+x₁）（1+x₂）=a-b+1，
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，
即（1+x₁）（1+x₂）＞0，
∴a（1+x₁）（1+x₂）=a-b+1＞0，
而a，b為正整數，則a（1+x₁）（1+x₂）=a-b+1≥1，
而x₁x₂=，
∴a²（1+x₁）（1+x₂）x₁x₂=a-b+1≥1，
∴a²≥，
由于0＜（1+x₁）（-x₁）=-+，當時取最大值；
同理0＜（1+x₂）（-x₂）=-+，當x₂=時取最大值；
而-1＜x₁＜x₂＜0，
∴0＜（1+x₁）（1+x₂）x₁x₂=（1+x₁）（-x₁）（1+x₂）（-x₂）＜，
從而a²≥＞16，
而a為正整數，所以a的最小值為5，
由于x₁，x₂為方程ax²+bx+1=0的兩實根，則b²-4a＞0，
∴b＞2＞4，
∴正整數b的最小值為5，
當a=b=5時，ax²+bx+1=0的根為x=，
∴x₁=，x₂=．
點評：此題考查了拋物線與x軸的交點坐標，根據函數特點及根與系數的關系得到關于a、b的不等式，再求出其具體值是解題的重要環節．