Question

17．在矩形ABCD中，E在邊BC上，且BE：CE=3：5，F為邊AD上一動點，連接EF，將矩形ABCD沿EF翻折，使點C恰好落在AB邊上的點C′處．
（1）如圖1，當點C′與點A重合時，求證：BE=DF；
（2）如圖2，當點F與點D重合時，求$\frac{BC}{AB}$的值；
（3）如圖3，當$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{3}$時，若DF=5，求線段AF的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD為矩形，得到∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，由翻折的性質得到CD=AG，∠C=∠EAG，FD=FG，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）設BE=3x，則CE=5x，得到C′E=5x，AD=8x，在Rt△BEC′中，由勾股定理得BC′=4x，由翻折的性質得到∠C=∠GC′E=90°，根據相似三角形的性質得到結論；
（3）設BE=3a，則CE=5a，BC=8a，于是求得AB=6a，根據相似三角形的性質得到C′N=$\frac{10a}{3}$，由翻折的性質CD=C′G，FD=FG=5，然后根據相似三角形的性質即刻得到結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，
由翻折得CD=AG，∠C=∠EAG，FD=FG，
∴∠BAE=∠GAF，
在△ABE與△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G=90°}\\{AB=AG}\\{∠BAE=∠GAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AGF，
∴BE=GF，
∴BE=DF；

（2）設BE=3x，則CE=5x，∴C′E=5x，AD=8x，
在Rt△BEC′中，由勾股定理得BC′=4x，
由翻折得∠C=∠GC′E=90°，
∴∠BEC′=∠AC′D，
∴△BEC′∽△AC′D，
∴$\frac{BC′}{AD}$=$\frac{BE}{AC′}$，
∴AC′=6x，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{8x}{10x}$=$\frac{4}{5}$；

（3）設BE=3a，則CE=5a，BC=8a，
∴AB=6a，
又∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
∴BC′=4a，
∴AC′=2a，
易證△BC′E∽△ANC′，
∴$\frac{BE}{AC′}$=$\frac{EC′}{C′N}$，
∴C′N=$\frac{10a}{3}$，
由翻折得CD=C′G，FD=FG=5，
∴C′G=6a，
∴NG=$\frac{8a}{3}$，
又易證△BC′E∽△GNF，
∴$\frac{BE}{GF}$=$\frac{C′B}{NG}$，a=$\frac{5}{2}$，
∴AD=20，
∴AF=15．

點評 本題考查了翻折的性質，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．