Question

如圖，在以O為圓心的圓中，弦CD垂直于直徑AB，垂足為H，弦BE與半徑OC相交于點F，且OF=FC，弦DE與弦AC相交于點G．
（1）求證：AG=GC；
（2）若AG=

3

，AH：AB=1：3，求△CDG的面積與△BOF的面積．

Answer 1

（1）證明：連接AD，BC，BD，
∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴BC=BD，∠CAB=∠DAB，
∴∠DAG=2∠CAB，
∵∠BOF=2∠CAB，
∴∠BOF=∠DAG，
又∵∠OBF=∠ADG，
∴△BOF∽△DAG，
∴

OB

OF

=

DA

AG

，
∵OB=OC=2OF，
∴

DA

AG

=2，
又∵AC=DA，
∴AC=2AG，
∴AG=GC；

（2）連接BC，則∠BCA=90°，
又∵CH⊥AB，
∴AC²=AH•AB，
∵AC=2AG=2

3

，AH：AB=1：3，
∴（2

3

）²=

1

3

AB•AB，
∴AB=6，∴AH=2，
∴CH=2

2

，
∴S_△ACD=

1

2

CD•AH=

1

2

×2×4

2

=4

2

，
又∵AG=CG，
∴S_△CDG=S_△DAG=

1

2

S_△ACD=2

2

，
∵△BOF∽△DAG，
∴

S△BOF

S△DAG

=（

OB

AD

）²=（

3

2 3

）²=

3

4

，
∴S_△BOF=

3 2

2

．