Question

如圖，凸四邊形ABCD內接于⊙O，

AD

=

BC

=90°，AB+CD為一偶數．
求證：四邊形ABCD面積為一完全平方數．

Answer 1

∵

AD

=

BC

，∴AB∥DC，ABCD為梯形．
過O作MN⊥AB于M交CD于N，易知MN⊥CD于N，由垂徑定理知M為AB中點，N為CD中點，連接OA，OD．
∵∠AOD=90°，
∴∠AOM=90°-∠DON=∠ODN，
從而有Rt△AOM≌Rt△ODN?OM=DN=

1

2

CD，ON=AM=

1

2

AB
∴MN=OM+ON=

1

2

(AB+CD)
∴SABCD=

1

2

(AB+CD)MN
=

1

2

(AB+CD)

1

2

(AB+CD)
=[

1

2

(AB+CD)]2
∵AB+CD為偶數，
∴S_ABCD必是完全平方數．