Question

10．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，△ABC外接圓⊙O的半徑為2.5，△ABC內切圓⊙I的半徑為1．

Answer 1

分析 由勾股定理求出斜邊AB，直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半，即可得出△ABC外接圓⊙O的半徑．由切線長定理得出AE=AD，CE=CF，BD=BF；證出四邊形IECF是正方形，則列方程即可求得⊙I的半徑r．

解答 解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴△ABC外接圓的半徑為$\frac{1}{2}$AB=2.5；
連接△ABC內切圓⊙I的圓心I和各個切點，如圖所示．
∵⊙I為△ABC的內切圓，
∴AE=AD，CE=CF，BD=BF，IE⊥AC，IF⊥BC，
∴∠IFC=∠IEC=∠C=90°，
∴四邊形IECF是矩形；
∵IE=IF，
∴四邊形IECF是正方形；
∵⊙I的半徑為r，
∴CE=CF=r，AE=AD=3-r，BD=BF=4-r，
∴3-r+4-r=5，
解得：r=1，
∴△ABC的內切圓的半徑r=1．
故答案為：2.5，1．

點評 本題考查了直角三角形外接圓和內切圓的性質、切線長定理、勾股定理、正方形的判定；熟知直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半和由勾股定理求出內切圓半徑是解決問題的關鍵．