Question

10．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是CD的中點，連接AP并延長，交BC的延長線于點F，作△CPF的外接圓⊙O，連接BP并延長交⊙O于點E，連接EF，則EF的長為$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 先求出CP、BF長，根據勾股定理求出BP，根據相似得出比例式，即可求出答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB，
∵P為CD的中點，CD=AB=BC=4，
∴CP=2，
∵PC∥AB，
∴△FCP∽△FBA，
∵CP=2，AB=BC=4，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{CP}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BF-4}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=8，
∴CF=8-4=4，
由勾股定理得：BP=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCP=∠PCF=90°，
∴PF是直徑，
∴∠E=90°=∠BCP，
∵∠PBC=∠EBF，
∴△BCP∽△BEF，
∴$\frac{PC}{EF}$=$\frac{BP}{BF}$，
∴$\frac{2}{EF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{8}$，
∴EF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質，圓周角定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力，題目比較好，難度適中．