Question

在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設銳角∠AOB＝α，將△DOC

按逆時針方向旋轉得到△D′OC′（0°＜旋轉角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點M．

（1）當四邊形ABCD為矩形時，如圖1．求證：△AOC′≌△BOD′．

（2）當四邊形ABCD為平行四邊形時，設AC＝kBD，如圖2．

①猜想此時△AOC′與△BOD′有何關系，證明你的猜想；

②探究AC′與BD′的數量關系以及∠AMB與α的大小關系，并給予證明．

		B
			圖2

 

Answer 1

（1）證明：在矩形ABCD中，

∵AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∵△D′OC′由△DOC旋轉得到，

∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，

∴OB＝OD′＝OA＝OC′，

∴180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，

即∠BOD′＝∠AOC′，

∴△BOD′≌△AOC′

（2）①猜想：△BOD′∽△AOC′．

證明：在平行四邊形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，

∵△D′OC′由△DOC旋轉得到，

∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，

∴OB：OA＝OD′：OC′，…………4分

180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，

∴∠BOD′＝∠AOC′，

∴△BOD′∽△AOC′

②結論：AC′＝kBD′，∠AMB＝α

證明：∵△BOD′∽△AOC′，

∴，即AC′＝kBD′         

設BD′與AC相交于點N，∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBM＝∠OAM，

在△ANM與△BNO中，又∵∠ANM＝∠BNO，

∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO，

即∠AMB＝∠AOB＝α．