Question

8．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．
（1）直線BF垂直于CE于點F，交CD于點G（如圖1）．求證：AE=CG；
（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長線于點M（如圖2）．那么圖中是否存在與AM相等的線段？若存在，請寫出來并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，且CD為斜邊上的中線，利用三線合一得到CD垂直于AB，且CD為角平分線，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一對角相等，AC=BC，利用ASA得到△AEC與△CGB全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證．
（2）圖中存在與AM相等的線段，AM=CE．先證出∠CEB=∠CMA，再由AAS證明△BCE≌△ACM，即可解答．

解答 解：（1）∵點D是AB的中點，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．
∴∠CAE=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠CBG}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△CGB（ASA）．
∴AE=CG．
（2）圖中存在與AM相等的線段，AM=CE．
證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．
∴∠CMA=∠BEC．
∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△CAM和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMA=∠BEC}\\{∠ACM=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CAM≌△BCE（AAS）．
∴AM=CE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質；熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．