Question

9．如圖，已知P為正方形ABCD的外接圓的劣弧$\widehat{AD}$上任意一點，求證：$\frac{PA+PC}{PB}$為定值．

Answer 1

分析 首先根據題意畫出圖形，然后延長PA到E，使AE=PC，連接BE，易證得△ABE≌△CBP，繼而可證得△BEP是等腰直角三角形，則可求得答案．

解答 解：延長PA到E，使AE=PC，連接BE，
∵∠BAE+∠BAP=180°，∠BAP+∠PCB=180°，
∴∠BAE=∠PCB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAE=∠PCB}\\{AE=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴∠ABE+∠ABP=∠ABP+∠CBP=90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PA+PC=PE=$\sqrt{2}$PB．
即：$\frac{PA+PC}{PB}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{PA+PC}{PB}$為定值．

點評 此題考查了圓的內接多邊形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．