Question

3．如圖所示，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點P從點B出發，沿BC向點C以2cm/s的速度移動，點Q從點C出發沿CA向點A以1cm/s的速度移動，如果P、Q分別從B、C同時出發，過多少時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC相似？

Answer 1

分析 設經過y秒后相似，由于沒有說明對應角的關系，所以共有兩種情況：△CPQ∽△CBA與△CPQ∽△CAB

解答 解：設經過y秒后，△CPQ∽△CBA，此時BP=2y，CQ=y．
∵CP=BC-BP=8-2y，CB=8，CQ=y，CA=6．
∵△CPQ∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
∴$\frac{8-2y}{8}=\frac{y}{6}$
∴y=2.4
設經過y秒后，△CPQ∽△CAB，此時BP=2y，CQ=y．
∴CP=BC-BP=8-2y．
∵△CPQ∽△CAB，
∴$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$
∴$\frac{8-2y}{6}=\frac{y}{8}$
∴y=$\frac{32}{11}$
所以，經過2.4秒或者經過$\frac{32}{11}$后兩個三角形都相似

點評 本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是分兩種情況進行討論，本題屬于中等題型．