Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線y＝ax²＋bx－3（a≠0）交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為5．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點P的橫坐標為m．

①用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；

②連結PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為1:2．若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）在中，當y=0時，x=-1；當y=5時，x=4．

A(-1，0)、B(4，5)     

將A(-1，0)、B(4，5)分別代入y＝ax²＋bx－3中，得

解得，．

∴所求解析式為y＝x²-2x-3    

（2）①設直線AB交y軸于點E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,

∠ACP=∠AEO=45°, ∴．

設，則，

∴．  

∴．

∴PD的最大值為．  

②當m=0或m=3時，PC把△PDB分成兩個三角形的面積比為1:2．