Question

11．拋物線y=ax²+bx+c頂點為原點，且過點（4，8）．直線y=kx+b與拋物線交于E、F兩點，若∠EOF=90°時，求證：直線過定點．

Answer 1

分析 先由拋物線y=ax²+bx+c頂點為原點，且過點（4，8），得出拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²．再把y=kx+b代入y=$\frac{1}{2}$x²，得$\frac{1}{2}$x²-kx-b=0①，設E（x₁，$\frac{1}{2}$${x}_{1}^{2}$），F（x₂，$\frac{1}{2}$${x}_{2}^{2}$），根據互相垂直的兩直線斜率之積為-1得出$\frac{{\frac{1}{2}x}_{1}^{2}}{{x}_{1}}$•$\frac{{\frac{1}{2}x}_{2}^{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$x₁•x₂=-1，即x₁•x₂=-4．又利用根與系數的關系得出x₁•x₂=$\frac{-b}{\frac{1}{2}}$=-2b，那么-2b=-4，求出b=2，從而證明直線y=kx+b過定點（0，2）．

解答 證明：∵拋物線y=ax²+bx+c頂點為原點，
∴y=ax²，
又∵過點（4，8），
∴16a=8，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²．
把y=kx+b代入y=$\frac{1}{2}$x²，得$\frac{1}{2}$x²-kx-b=0①，
設E（x₁，$\frac{1}{2}$${x}_{1}^{2}$），F（x₂，$\frac{1}{2}$${x}_{2}^{2}$），
∵∠EOF=90°即OE⊥OF，
∴k₁•k₂=-1，
∴$\frac{{\frac{1}{2}x}_{1}^{2}}{{x}_{1}}$•$\frac{{\frac{1}{2}x}_{2}^{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$x₁•x₂=-1，
∴x₁•x₂=-4．
由①可知，x₁•x₂=$\frac{-b}{\frac{1}{2}}$=-2b，
∴-2b=-4，
∴b=2，
∴直線y=kx+b過定點（0，2）．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，互相垂直的兩直線斜率之積為-1，二次函數與一次函數的交點，一元二次方程根與系數的關系，綜合性較強，有一定難度．