Question

1．閱讀：（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1．
由上面的規律得（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1（n為正整數）；
根據這一規律進行計算：2²⁰¹⁴-2²⁰¹³+2²⁰¹²-2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰…-2³+2²-2+1=$\frac{{2}^{2015}+1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據閱讀知識找到規律即可求解；
（2）原式變形為-$\frac{1}{3}$（-2-1）×[（-2）²⁰¹⁴+（-2）²⁰¹³+（-2）²⁰¹²+（-2）²⁰¹¹+（-2）²⁰¹⁰…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1]，計算即可得到結果．

解答 解：（1）（x-1）×（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1（n為正整數）；

（2）2²⁰¹⁴-2²⁰¹³+2²⁰¹²-2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰…-2³+2²-2+1
=-$\frac{1}{3}$×（-2-1）×[（-2）²⁰¹⁴+（-2）²⁰¹³+（-2）²⁰¹²+（-2）²⁰¹¹+（-2）²⁰¹⁰…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1]
=-$\frac{1}{3}$×[（-2）²⁰¹⁵-1]
=$\frac{{2}^{2015}+1}{3}$．
故答案為：xⁿ⁺¹-1；$\frac{{2}^{2015}+1}{3}$．

點評 此題考查了平方差公式，弄清題中的規律是解本題的關鍵．