Question

4．如圖，點A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，下面結論：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形；④PQ∥AC．
其中結論正確的有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①由等邊三角形的性質得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可證出△ABE≌△DBC；
②由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根據三角形外角的性質得出∠DMA=60°；
③由ASA證明△ABP≌△DBQ，得出對應邊相等BP=BQ，即可得出△BPQ為等邊三角形；
④推出△BPQ是等邊三角形，得到∠PBQ=60°，根據平行線的性質即可得到PQ∥AC，故④正確．

解答 解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AB=DB\\∠ABE=∠DBC\\ BE=BC\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正確；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正確；
在△ABP和△DBQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠BAP=∠BDQ\\ AB=DB\\∠ABP=∠DBQ=60°\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ為等邊三角形，
∴③正確；
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴∠PQB=60°，
∴∠PQB=∠QBC，
∴PQ∥AC，
故④正確．
故選D．

點評 此題考查了等邊三角形的判定與性質與全等三角形的判定與性質，平行線的判定和性質，此題圖形比較復雜，解題的關鍵是仔細識圖，找準全等的三角形．