Question

將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉n°（0＜n＜90），得正方形AB₁C₁D₁，B₁C₁交CD于點E．
（1）求證：B₁E=DE；
（2）簡要說明四邊形AB₁ED存在一個內切圓；
（3）若n=30（度），AB=，求四邊形AB₁ED內切圓的半徑r．

Answer 1

解：（1）連接AE，
由旋轉的性質可知在AD=AB₁，
Rt△AED與Rt△AEB₁中，AE=AE，AD=AB₁，
∴Rt△AED≌Rt△AEB₁，
故B₁E=DE．

（2）由（1）可知，Rt△AED≌Rt△AEB₁，
∴EB₁+AD=ED+AB₁，
故四邊形AB₁ED存在一個內切圓．

（3）作∠DAF與∠AB₁G的角平分線交于點O，過O作OF⊥AB₁，
則∠OAF=n=30°，∠AB₁O=45°，
故B₁F=OF=OA，
設B₁F=x，則AF=-x，
故（-x）²+x²=（2x）²，
解得x=或x=（舍去）．
分析：（1）根據旋轉的性質及三角形全等的性質，即可得出結論．
（2）根據（1）的結論及由四邊形有內切圓時應滿足的條件，可判斷出四邊形AB₁ED存在一個內切圓．
（3）由（2）可知，四邊形AB₁ED存在一個內切圓，所以此圓的圓心一定在四個角平分線的交點上，作∠DAF與∠AB₁G的角平分線交于點O，則O即為該圓的圓心，過O作OF⊥AB₁，n=30°，AB=，再根據直角三角形的性質便可求出OF的長，即該四邊形內切圓的圓心．
點評：本題考查的是旋轉的性質及園內切四邊形成立的條件及性質，要熟練掌握正方形的性質及直角三角形的性質，是解答此題的關鍵．