Question

（2013•拱墅區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長為3，將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，F(xiàn)E交線段DC于點(diǎn)Q，F(xiàn)E的延長線交線段BC于點(diǎn)P，連結(jié)AP、AQ．
（1）求證：△ADQ≌△AEQ；
（2）求證：PQ=DQ+PB；
（3）當(dāng)∠1=∠2時(shí)，求PQ的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠G=∠AEF=90°，AD=AE，根據(jù)HL證出糧三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等求出DQ=QE，同理BP=PE，即可得出答案；
（3）求出Rt△ADQ∽R(shí)t△PCQ，推出∠AQD=∠PQC=∠AQP，求出三角為60°，求出∠1和∠2度數(shù)，求出QD、CQ，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，
∴∠G=∠AEF=90°，AD=AE，
∵在Rt△ADQ和Rt△AEQ中

AQ=AQ AD=AE

，
∴△ADQ≌△AEQ（HL）；

（2）證明：與證△ADQ≌△AEQ類似，可證得：△AEP≌△ABP，
∴PB=PE，QD=QE，
∴PQ=QE+PE=DQ+PB；

（3）解：當(dāng)∠1=∠2時(shí)，
∵∠D=∠C=90°，
∴Rt△ADQ∽R(shí)t△PCQ，
∴∠AQD=∠PQC，
∵△ADQ≌△AEQ
∴∠AQD=∠AQE，
∴∠AQD=∠PQC=∠AQE，且∠AQD+∠AQE+∠PQC=180°，
∴∠AQD=60°，
∴∠1=30°
∴Rt△ADQ中，AD=3，DQ=

3

，
∴QC=3-

3

，
∵∠C=90°，∠PQC=60°，
∴∠2=30°，
∴PQ=2QC=6-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．