Question

（2013•三元區質檢）把邊長為a的正方形ABCD和正方形AEFG按圖①放置，點B、D分別在AE、AG上，將正方形ABCD繞點A順時針旋轉角α（0°＜α＜45°）．
（1）連接BE、DG，如圖②所示，求證：BE=DG；
（2）連接AF、BD，BC交AF于P，CD交AG于Q，連接PQ，如圖③所示．
①當PQ∥BD時，求證：∠PAB=∠QAD；
②求證：旋轉過程中△PCQ的周長等于定值2a．

Answer 1

分析：（1）先由正方形的性質得出∠EAG=∠BAD=90°，AB=AD，AE=AG，再利用SAS證明△BAE≌△DAG，根據全等三角形對應邊相等即可得到BE=DG；
（2）①先由平行線與正方形的性質得出∠CPQ=∠CBD=∠CDB=∠CQP=45°，CB=CD，根據等邊對等角得到CP=CQ，則BP=DQ，再利用SAS證明△ABP≌△ADQ，根據全等三角形對應邊相等即可得到∠PAB=∠QAD；
②延長CD至點H，使DH=BP，連接AH，先利用SAS證明△ABP≌△ADH，則AP=AH，∠BAP=∠DAH，再證明∠PAQ=∠HAQ=45°，利用SAS證明△PAQ≌△QAH，得出PQ=HQ=HD+DQ=BP+DQ，然后根據三角形的周長公式即可證明△PCQ的周長=CB+CD=2a．

解答：證明：（1）如圖②．
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，
∴∠EAG=∠BAD=90°，AB=AD，AE=AG，
∴∠EAB=∠GAD，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE=DG；

（2）如圖③．
①∵PQ∥BD，四邊形ABCD是正方形，
∴∠CPQ=∠CBD=∠CDB=∠CQP=45°，CB=CD，
∴CP=CQ，
∴CB-CP=CD-CQ，即BP=DQ，
又∵AB=AD，∠ABP=∠ADQ=90°，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴∠PAB=∠QAD；

②延長CD至點H，使DH=BP，連接AH．
∵AB=AD，∠ABP=∠ADH=90°，BP=AD，
∴△ABP≌△ADH（SAS），
∴AP=AH，∠BAP=∠DAH，
∴∠PAH=∠PAD+∠DAH=∠PAD+∠BAP=∠BAD=90°，
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAQ=∠HAQ，
又∵AP=AH，AQ=AQ，
∴△PAQ≌△QAH（SAS），
∴PQ=HQ=HD+DQ=BP+DQ，
∴△PCQ的周長=CP+CQ+PQ=CP+CQ+BP+QD=CB+CD=2a．

點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線、等腰三角形的性質，三角形的周長，綜合性較強，2②有一定難度，正確作出輔助線是解決此問的關鍵．