Question

2．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D，E分別在AC，BC邊上運動，且保持AD=CE，連接DE，DF，EF，在此運動變化過程中，則5個結(jié)論：①∠CDF=∠BEF；②△DFE是等腰直角三角形；③四邊形CDFE的面積隨D，E的運動而變化；④△CDE面積的最大值為4；⑤△DFE面積的最小值為2，其中正確的結(jié)論是（　　）

• A． ①③⑤
• B． ②③④
• C． ①②⑤
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①②正確，只要證明△CDF≌△BEF，即可證明．
③錯誤．根據(jù)四邊形CDFE的面積=△CDF的面積+△CEF的面積=△BEF的面積+△CEF的面積=△BCF的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積=定值，即可判斷．
④錯誤．設(shè)AD=CE=x，則S_△CDE=$\frac{1}{2}$（4-x）x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．
⑤正確．因為△DEF是等腰直角三角形，所以DE最小時，△DEF的面積最小，根據(jù)DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（4-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+8}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷．

解答 解：連接CF．
∵∠C=90°，AC=BC=4，F(xiàn)是AB邊上的中點，
∴CF=AF=BF，∠DCF=∠B=45°，CF⊥AB，
∴∠CFB=90°，
∵AD=CE，
∴CD=BE，
在△CDF和△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=BF}\\{∠DCF=∠B}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BEF，
∴∠CDF=∠BEF，DE=EF，∠CFD=∠BFE，
∴∠DFE=∠CFB=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①②正確，
∵S_△CDF=S_△BFE，
∴四邊形CDFE的面積=△CDF的面積+△CEF的面積=△BEF的面積+△CEF的面積=△BCF的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積=定值，故③錯誤．
設(shè)AD=CE=x，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$（4-x）x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴△CDE的面積的最大值為2，故④錯誤．
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DE最小時，△DEF的面積最小，
∵DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（4-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+8}$，
∴DE的最小值為2$\sqrt{2}$，此時DF=EF=2，
∴△DEF的面積的最小值=$\frac{1}{2}$×2×2=2，故⑤正確．
故選C．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，勾股定理的運用，二次函數(shù)的解析式的性質(zhì)的運用，解答時靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．