Question

2．某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤(rùn)6元．每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件．
（1）若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為y元（其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10），求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次；
（3）求該產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意得出第x檔次提高的檔次是x-1檔，根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×產(chǎn)量可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程求得x的值，結(jié)合x(chóng)的范圍取舍即可得；
（3）將函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式即可得最值情況．

解答 解：（1）∵第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤(rùn)6元，每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)加2元，但一天生產(chǎn)量減少5件．
∴第x檔次，提高的檔次是x-1檔．
∴y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]，
即y=-10x²+180x+400（其中x是正整數(shù)，且1≤x≤10）；

（2）由題意可得：-10x²+180x+400=1120
整理得：x²-18x+72=0
解得：x₁=6，x₂=12（舍去）．
答：該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為第6檔．

（3）∵y=-10x²+180x+400=-10（x-9）²+1210
∴該產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為y的最大值=1210元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)相等關(guān)系列出函數(shù)解析式及一元二次方程是解題的關(guān)鍵．