Question

17．拋物線y=x²+bx+c與x軸的交點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），一元二次方程x²+bx+c-1=0的兩根為m，n（m＜n），則下列說法錯誤的是（　　）

• A． b²＞4c
• B． x₁+x₂＞m+n
• C． x₁x₂＞mn
• D． m＜x₁＜x₂＜n

Answer 1

分析 依題意畫出函數y=（x-x₁）（x-x₂）和y=1的圖象草圖，根據二次函數的增減性求解．

解答 解：∵拋物線y=x²+bx+c與x軸有兩個交點，
∴b²-4c＞0，
即b²＞4c，故A正確；
∵y=x²+bx+c與x軸的交點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴x₁+x₂=-b，m+n=-b，x₁x₂=c，mn=c-1，
∴x₁+x₂=m+n，x₁x₂＞mn，故B錯誤，C正確，
依題意，畫出函數y=（x-x₁）（x-x₂）的圖象，如圖所示．
函數圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為m，n（m＜n），
方程的兩根是拋物線y=（x-x₁）（x-x₂）與直線y=1的兩個交點．
由m＜n，可知對稱軸左側交點橫坐標為m，右側為n．
由拋物線開口向上，則在對稱軸左側，y隨x增大而減少，則有m＜x₁；在對稱軸右側，y隨x增大而增大，
則有x₂＜n．
綜上所述，可知m＜x₁＜x₂＜n，故D正確，
故選B．

點評 本題考查了二次函數與一元二次方程的關系，考查了數形結合的數學思想．解題時，畫出函數草圖，由函數圖象直觀形象地得出結論，避免了繁瑣復雜的計算．