Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線是由拋物線y=x2﹣3向右平移一個單位后

得到的，它與y軸負半軸交于點A，點B在該拋物線上，且橫坐標為3．

（1）求點M、A、B坐標；

（2）連結AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；

（3）點P是頂點為M的拋物線上一點，且位于對稱軸的右側，設PO與x正半軸的夾角為α，當α=∠ABM時，求P點坐標．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據函數平移的規律可得平移后的拋物線解析式是y=（x-1）2-3，所以頂點M的坐標（1，-3），把x=0， x=3分別代入y=（x-1）2-3可求出A點的坐標（0，-2）和點B的坐標（3,1）；

（2）過點B作BE⊥AO于E，過點M作MF⊥AO于M，根據EB=EA=3得∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后根據△ABE∽△AMF求出即可；（3）過點P作PH⊥x軸于H，分兩種情況討論：點P在x軸的上方和下方.

試題解析：（1）拋物線y=x2-3向右平移一個單位后得到的函數解析式為y=（x-1）2-3，

頂點M（1，-3），

令x=0，則y=（0-1）2-3=-2，

點A（0，-2），

x=3時，y=（3-1）2-3=4-3=1，

點B（3，1）；

（2）過點B作BE⊥AO于E，過點M作MF⊥AO于M，

∵EB=EA=3，

∴∠EAB=∠EBA=45°，

同理可求∠FAM=∠FMA=45°，

∴△ABE∽△AMF，

∴==，

又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，

∴tan∠ABM==；

（3）過點P作PH⊥x軸于H，

∵y=（x-1）2-3=x2-2x-2，

∴設點P（x，x2-2x-2），

①點P在x軸的上方時，=，

整理得，3x2-7x-6=0，

解得x1=-（舍去），x2=3，

∴點P的坐標為（3，1）；

②點P在x軸下方時，=，

整理得，3x2-5x-6=0，

解得x1=（舍去），x2=，

x=時，x2-2x-2=-×=-，

∴點P的坐標為（，-），

綜上所述，點P的坐標為（3，1）或（，-）．

考點：1.二次函數圖象的平移；2.求拋物線與坐標軸的交點；3.相似三角形的判定與性質；4.銳角三角形函數.