Question

【題目】在中，，，點在直線上（，除外），的垂線與的垂線交于點，研究和的數量關系.

（1）在探究，的關系時，運用“從特殊到一般”的數學思想，發現當點是的中點時，只需要取邊的中點（如圖），通過推理證明就可以得到的數量關系，請你按照這種思路直接寫出和的數量關系：_____________________

（2）當點是線段上（，除外）任意一點（其它條件不變），上面得到的結論是否仍然成立呢？證明你的結論；

（3）點在線段的延長線上，上面得到的結論是否仍然成立呢？在下圖中畫出圖形，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）AE=EF；（2）成立，證明見詳解；（3）成立，畫圖、證明見詳解.

【解析】

（1）證△AGE≌△EBF即可；

（2）在AC上截取點G使AG=EB，再證△AGE≌△EBF即可；

（3）在AC延長線上截取點G使AG=EB，再證△AGE≌△EBF即可.

證明：（1）∵AB=AC，∠C=90°，G、E分別是AC、BC的中點

∴AG=BE，CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°

∵AB⊥BF

∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°

∠AGE=180°－∠CGE=135°

∴∠EBF =∠AGE

∵AE⊥EF

∴∠AEC＋∠FEB=90°

∵∠CAE＋∠AEC=90°

∴∠FEB=∠CAE

在△AGE和△EBF中

∴△AGE≌△EBF

∴AE=EF

（2）成立；在AC上截取點G使AG=EB，

∵AB=AC，∠C=90°AG=BE

∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°

∵AB⊥BF

∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°

∠AGE=180°－∠CGE=135°

∴∠EBF =∠AGE

∵AE⊥EF

∴∠AEC＋∠FEB=90°

∵∠CAE＋∠AEC=90°

∴∠FEB=∠CAE

在△AGE和△EBF中

∴△AGE≌△EBF

∴AE=EF

（3）成立，如下圖：在AC延長線上截取點G使AG=EB

∵AB=AC，∠C=90°AG=BE

∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°

∵AB⊥BF

∴∠EBF=90°－∠CBA=45°

∴∠CGE =∠EBF

∵AE⊥EF

∴∠AEC＋∠FEB=90°

∵∠CAE＋∠AEC=90°

∴∠FEB=∠CAE

在△AGE和△EBF中

∴△AGE≌△EBF

∴AE=EF