Question

20．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=60°，∠BCD=150°，對角線AC平分∠DAB，AC=6，則△DAB的面積為9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作高線DF，根據∠DAF=60°，設AF=x，則AD=2x，DF=$\sqrt{3}$x，證明△ADC∽△ACB，則$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，得
AD•AB=AC²=6²=36，整體代入面積公式可得結論．

解答 解：∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ADC+∠ACD=150°，
∵∠DCB=150°，
∴∠ACB+∠ACD=150°，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AD•AB=AC²=6²=36，
過D作DF⊥AB于F，
在Rt△ADF中，∠DAF=60°，
∴∠ADF=30°，
設AF=x，則AD=2x，DF=$\sqrt{3}$x，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DF=$\frac{1}{2}$AB$•\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB•2x$•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB•AD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×36=9$\sqrt{3}$；
故答案為：9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定、角平分線的定義、直角三角形30°角的性質，本題證明△ADC∽△ACB是關鍵，還運用了整體的思想，使問題得以解決．