Question

11．如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，沿對角線AC將矩形分成兩個直角三角形，其中△ABC不動，△A′C′D沿射線CA的方向以每秒2cm的速度移動．
（1）在平移過程中，四邊形ABC′D始終是①（請在下面的四個選項中選擇一個你認為正確的序號填在橫線上）；
①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形．
（2）在移動過程中，當移動時間t（秒）為何值時，四邊形ABC'D是菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用平移的性質得出結論即可判斷出四邊形ABC'D是平行四邊形；
（2）先根據勾股定理求出AC=10，再由菱形的性質得出BD⊥AC'，OB=OD，AO=OC'．進而由直角三角形的 面積公式即可求出BO，再根據勾股定理求出AO，最后求出CC'即可求出時間．

解答 解：（1）由平移得，AB=DC'，AB∥DC'，
∴四邊形ABC'D是平行四邊形，
故選①；
（2）如圖，連接BD交AC于點O，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵四邊形ABC'D是菱形，
∴BD⊥AC'，OB=OD，AO=OC'．
∵$\frac{1}{2}$AC•BO=$\frac{1}{2}$AB•BC，
∴BO=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABO中，AB=6，BO=$\frac{24}{5}$，
∴AO=$\frac{18}{5}$，
∴C'O=AO=$\frac{18}{5}$，
∴AC'=AO+C'O=$\frac{36}{5}$，
∴CC'=AC-AC'=10-$\frac{36}{5}$=$\frac{14}{5}$，
∴t=$\frac{14}{5}$÷2=$\frac{7}{5}$，
當t=$\frac{7}{5}$秒時，四邊形ABC'D是菱形．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定，菱形的性質，平移的性質，勾股定理，三角形的面積，求出BO是解本題的關鍵．