Question

5．已知x為任意實數，則$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值為2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 因為$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+{1}^{2}}$，所以欲求$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值，相當于如圖A（0，5），B（4，1），在x軸上找一點P，使得PA+PB最短，作點B關于x軸的對稱點B′（4，-1），PA+PB的最小值為AB′的長．

解答 解：∵$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+{1}^{2}}$，
∴欲求$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值，相當于如圖A（0，5），B（4，1），在x軸上找一點P，使得PA+PB最短，
作點B關于x軸的對稱點B′（4，-1），
PA+PB的最小值為AB′的長=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值為2$\sqrt{13}$．
故答案為2$\sqrt{13}$．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、二次根式等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，把代數問題轉化為幾何問題解決，屬于中考填空題中的壓軸題．