Question

9．已知α、β是一元二次方程2x²-3x-1=0的兩個實數根，求下列代數式的值．
（1）（α-β）²；
（2）$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$；
（3）（α-2）（β-2）

Answer 1

分析 根據根與系數的關系得到α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$，進一步把原式變形，然后利用整體思想計算即可．
（1）原式=（α+β）²-4αβ；（2）原式=$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{αβ}$；（3）原式=αβ-2（α+β）+4．

解答 解：∵α、β是一元二次方程2x²-3x-1=0的兩個實數根，
∴α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$，
（1）原式=（α+β）²-4αβ=$\frac{9}{4}$+2=$\frac{17}{4}$；
（2）原式=$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{αβ}$=$\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{13}{2}$；
（3）原式=αβ-2（α+β）+4=-$\frac{1}{2}$-3+4=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程ax²+bx+c=0兩個根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，滲透整體代入的思想．