Question

2．如圖，在直角坐標系xOy中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸，y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第二象限內作矩形ABCD，使AD=$\sqrt{5}$．
（1）求邊AB的長；
（2）求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據直線解析式求出OA、OB，再利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）根據矩形的性質可得∠BAD=90°，然后求出∠BAO=∠ADH，再求出△AOB和△DHA相似，根據相似三角形對應邊成比例求出AH、DH，再求出OH，然后根據點D在第二象限寫出即可．

解答 解：（1）令y=0，則$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得x=-4，
令x=0，則y=2，
所以OA=4，OB=2，
根據勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（2）∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAH+∠BAO=90°，
∵DH⊥x軸，
∴∠AHD=90°，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠BAO=∠ADH，
又∵∠AHD=∠BOA=90°，
∴△AOB∽△DHA，
∴$\frac{DH}{OA}$=$\frac{AH}{OB}$=$\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{DH}{4}$=$\frac{AH}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，
解得DH=2，AH=1，
所以，OH=OA+AH=4+1=5，
所以，點D的坐標為（-5，2）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，矩形的性質，相似三角形的判定與性質，熟記定理與性質并確定出相似三角形是解題的關鍵．