Question

5．如圖，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=12cm，動點P從點C出發，以1cm/s的速度沿CA方向向點A運動，同時點Q從點B出發，以1.5cm/s的速度沿BC方向向點C運動，當點Q到達終點時，點P也隨之停止運動，過點Q作QM⊥BC，交AB于點M，以線段MQ為直角邊在MQ的左側作等腰直角△MQN，以線段CP為一邊在△ABC內部作正方形PDEC，設運動時間為t（s），△MQN與正方形PDEC重疊部分的面積為S（cm²）．
（1）當點P在MN上時，t=$\frac{24}{7}$s，當點D在MQ上時，t=$\frac{24}{5}$s；
（2）當$\frac{8}{3}$≤t≤8時，求S與t之間的函數關系；
（3）若點F、G分別是MQ、MN的中點，請直接寫出在整個運動過程中，線段FG掃過的圖形面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1，P在MN上，先表示兩動點的路程：PC=t，BQ=1.5t，證明△MQB∽△ACB，列比例式可表示MQ=3t，根據NQ=3t列方程可求得t的值；
如圖2，點D在MQ上，根據CE=CQ列式求得t的值；
（2）分四種情況：
①當N與C重合時，如圖3，此時t=$\frac{8}{3}$s，△MQN與正方形PDEC重疊部分△CDE，根據面積公式求得S；
②當$\frac{8}{3}$＜t＜$\frac{24}{7}$時，如圖4，△MQN與正方形PDEC重疊部分是五邊形GHCED，根據S=S_{正方形PCED}-S_△PGH可得結論；
③當$\frac{24}{7}$$≤t≤\frac{24}{5}$時，如圖5，△MQN與正方形PDEC重疊部分是正方形PCED；
④當$\frac{24}{5}$＜t≤8時，如圖6，△MQN與正方形PDEC重疊部分是矩形PCQG；
（3）線段FG掃過的圖形面積是△BFG的面積，分別求GF和FC的長，代入面積公式計算即可．

解答 解：（1）當P在MN上時，如圖1，
由題意得：PC=t，BQ=1.5t，
∵△MQN是等腰直角三角形，
∴MQ=NQ，∠NQM=90°，∠MNQ=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠NQM=180°，
∴AC∥MQ，
∴△MQB∽△ACB，
∴$\frac{MQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{MQ}{24}=\frac{1.5t}{12}$，
∴MQ=3t，
∴NQ=MQ=3t，
∵△PCN是等腰直角三角形，
∴NC=PC=t，
∴NC+CQ=NQ，
t+12-1.5t=3t，
t=$\frac{24}{7}$，
即當點P在MN上時，t=$\frac{24}{7}$s；
當點D在MQ上時，如圖2，此時Q與E重合，
由題意得：CE=PC=t，CQ=12-1.5t，
∴t=12-1.5t，
t=$\frac{24}{5}$，
即當點D在MQ上時，t=$\frac{24}{5}$s；
故答案為：$\frac{24}{7}$；$\frac{24}{5}$；
（2）①當N與C重合時，如圖3，
∵四邊形PCDE是正方形，
∴∠DCE=45°，
∵△MNQ是等腰直角三角形，
∴∠MNQ=45°，
∴此時D在CM上，
則CQ+BQ=BC，
3t+1.5t=12，
9t=24，
t=$\frac{8}{3}$；
此時，△MQN與正方形PDEC重疊部分是△CDE，
S=S_△CDE=$\frac{1}{2}$CE•ED=$\frac{1}{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}$×$（\frac{8}{3}）^{2}$=$\frac{32}{9}$；
②當$\frac{8}{3}$＜t＜$\frac{24}{7}$時，如圖4，△MQN與正方形PDEC重疊部分是五邊形GHCED，
此時，CQ=12-1.5t，NC=3t+1.5t-12=4.5t-12，
∵∠MNQ=45°，
∴△NCH是等腰直角三角形，
∴NC=HC=4.5t-12，
∴PH=PG=t-（4.5t-12）=12-3.5t，
∴S=S_{正方形PCED}-S_△PGH=t²-$\frac{1}{2}$（12-3.5t）²=-$\frac{41}{8}{t}^{2}$+42t-72；
③當$\frac{24}{7}$$≤t≤\frac{24}{5}$時，如圖5，△MQN與正方形PDEC重疊部分是正方形PCED，
此時S=$\frac{1}{2}{t}^{2}$；
④當$\frac{24}{5}$＜t≤8時，如圖6，△MQN與正方形PDEC重疊部分是矩形PCQG，
CQ=12-1.5t，
∴S=S_矩形PCQE=PC•CQ=t（12-1.5t）=-1.5t²+12t；
綜上所述，當$\frac{8}{3}$≤t≤8時，S與t之間的函數關系是：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{32}{9}（t=\frac{8}{3}）}\\{-\frac{41}{8}{t}^{2}+42t-72（\frac{8}{3}＜t＜\frac{24}{7}）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}（\frac{24}{7}≤t≤\frac{24}{5}）}\\{-1.5{t}^{2}+12t（\frac{24}{5}＜t≤8）}\end{array}\right.$；
（3）如圖7，在整個運動過程中，線段FG掃過的圖形面積是圖中陰影部分的面積，即△BFG的面積，
此時Q與C重合，
∴NC=AC=24，
∵點F、G分別是MQ、MN的中點，
∴GF是△ANC的中位線，
∴GF∥NC，GF=$\frac{1}{2}$NC=$\frac{1}{2}$AC=12，
FC=$\frac{1}{2}$AC=12，
∴S_△BFG=$\frac{1}{2}$GF•FC=$\frac{1}{2}$×12×12=72；
則線段FG掃過的圖形面積是72cm²．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質和判定、動點運動問題、三角形相似的性質和判定，還有重疊部分面積問題，有難度，尤其是第二問，要利用數形結合的思想，注意重疊部分圖形的不同，并與函數相結合，解決問題．