Question

16．如圖1所示，四邊形AEFG與四邊形ABCD是正方形，其中G、A、B三點在同一直線上．連接DG、BE．完成下面問題：
（1）求證：BE=DG；
（2）如圖2，將正方形AEFG繞點A逆時針轉過一定角度時，小明發現：BE=DG且BE⊥DG，請你幫助小明證明這兩個結論；
（3）如圖3，小明還發現：在旋轉過程中，分別連接EG、GB、BD、DE的中點，得到的四邊形MNPQ是正方形．若AB=a，AE=b其中a＞b，你能幫小明求出正方形MNPQ的面積的范圍嗎？寫出過程．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質得到AD=AB，AE=AG，∠DAG=∠BAE=90°，證明△DAG≌△BAE，根據全等三角形的性質證明結論；
（2）根據全等三角形的性質和互余的概念以及垂直的定義證明即可；
（3）根據三角形中位線定理得到MN=$\frac{1}{2}$BE，根據旋轉的性質和正方形的面積公式計算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形AEFG與四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，AE=AG，∠DAG=∠BAE=90°，
在△DAG和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE，
∴BE=DG；
（2）證明：如圖2，∵∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
在△DAG和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE，
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
∵∠ABE+∠AHB=90°，∠AHB=∠DHE，
∴∠ADG+∠DHE=90°，
∴BE⊥DG，
∴BE=DG且BE⊥DG；
（3）解：∵M、N分別是EG、GB的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$BE，
∴當BE最小時，正方形MNPQ是面積最小，BE最大時，正方形MNPQ是面積最大，
由題意可知，當點E旋轉到線段AB上時，BE最小為a-b，
當點E旋轉到線段AB的延長線上時，BE最答為a+b，
∴$\frac{1}{4}$（a-b）²≤正方形MNPQ的面積≤$\frac{1}{4}$（a+b）²．

點評 本題考查的是正方形的性質、三角形全等的判定和性質、三角形中位線定理的應用，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．