Question

6．在數學探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請你一起來探究：

已知：C是線段AB所在平面內任意一點，分別以AC、BC為邊，在AB同側作等邊三角形ACE和BCD，聯結AD、BE交于點P．
（1）如圖1，當點C在線段AB上移動時，線段AD與BE的數量關系是：AD=BE．
（2）如圖2，當點C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結論是否還成立？若成立請證明，不成立說明理由．
（3）在（2）的條件下，∠APE的大小是否隨著∠ACB的大小的變化而發生變化，若變化，寫出變化規律，若不變，請求出∠APE的度數．

Answer 1

分析 （1）直接寫出答案即可．
（2）證明△ECB≌△ACD即可．
（3）由（2）得到∠CEB=∠CAD，此為解題的關鍵性結論，借助內角和定理即可解決問題．

解答 解：（1）∵△ACE、△CBD均為等邊三角形，
∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，
∴∠ACD=∠ECB；
在△ACD與△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=EC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
故答案為AD=BE．
（2）AD=BE成立．
證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AC}\\{∠ECB=∠ACD}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴BE=AD．
（3））∠APE不隨著∠ACB的大小發生變化，始終是60°．
如圖2，設BE與AC交于Q，
由（2）可知△ECB≌△ACD，
∴∠BEC=∠DAC
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．

點評 本題考查了全等三角形的判定及其性質、等邊三角形的性質三角形內角和定理等知識，尋找全等三角形是解題的關鍵．