Question

12．如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB交于點F，過點D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延長線于點E．過點A作⊙O的切線交ED的延長線于點G．
（1）求證：GE是⊙O的切線；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，進而利用等腰三角形的性質以及切線的性質得出∠CDO+∠CDE=90°，進而得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出DE的長，再利用相似三角形的判定與性質得出AG的長．

解答 （1）證明：連接OD． 
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90° 
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，
∵∠EFD=∠FDE，
∠EFD=∠CDE，
∴∠CDO+∠CDE=90°，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=EO²，
∴3²+x²=（x+1）²，
解得：x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG為⊙O的切線，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
∵∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴$\frac{EO}{EG}$=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{DO}{AG}$，
即$\frac{3}{AG}$=$\frac{4}{8}$，
解得：AG=6．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及切線的判定與性質，正確得出Rt△EOD∽Rt△EGA是解題關鍵．