Question

15．已知點P是△ABC的內心，如果⊙P在邊AB上截得的線段長為m，那么⊙P在邊AC上截得的線段長為m．

Answer 1

分析 如圖，設⊙P在邊AB上截得的線段為EF，在邊AC上截得的線段為MN，作PI⊥EF于I，PH⊥MN于H，連接PF，PN．只要證明△PIF≌△PHN，可得IF=HN，由PI⊥EF于I，PH⊥MN于H，可得FI=EI，MH=NH，即可推出MN=EF=m．

解答 解：如圖，設⊙P在邊AB上截得的線段為EF，在邊AC上截得的線段為MN，作PI⊥EF于I，PH⊥MN于H，連接PF，PN．

∵P是△ABC的內心，
∴PI=PH，
在Rt△PIF和△PHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PI=PH}\\{PF=PN}\end{array}\right.$，
∴△PIF≌△PHN，
∴IF=HN，
∵PI⊥EF于I，PH⊥MN于H，
∴FI=EI，MH=NH，
∴MN=EF=m，
故答案為m．

點評 本題考查三角形內切圓與內心、全等三角形的判定和性質．垂徑定理等知識，題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．