Question

7．定義感知：我們把頂點關于y軸對稱，且交于y軸上同一點的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，如圖所示的拋物線y₁=x²+2x+2與y₂=x²-2x+2是一對“孿生拋物線”．
初步運用：
（1）判斷下列論斷是否正確？正確的在題后括號內打“√”，錯誤的則打“×”；
①“孿生拋物線”的兩對稱軸一定關于y軸對稱．（√）
②“孿生拋物線”的開口方向不一定相同．（×）
（2）填空：拋物線y=2x²-4x-1的“孿生拋物線”解析式為y=2x²+4x-1．
延伸拓展：在平面直角坐標系中，記“孿生拋物線”的兩頂點分別為M，M′，且MM′=4，“孿生拋物線”與y軸的交點A（0，1）到線段MM′的距離為2個單位長度，試求該“孿生拋物線”的解析式．

Answer 1

分析 初步運用：（1）①根據“孿生拋物線”的定義即可求解；
②由“孿生拋物線”的意義判斷即可；
（2）由“孿生拋物線”的頂點關于y軸對稱，所以把解析式化成頂點式，求出其“孿生拋物線”；
延伸拓展：由于MM′=4，“孿生拋物線”與y軸的交點A（0，1）到線段MM′的距離為2個單位長度，可得M（2，-1），M′（-2，-1），或M（2，3），M′（-2，3），其“共點”A與M，M′，O三點恰好構成一個面積為12的菱形，且MM′=4，①開口向上時，求出M（-2，3），M′（2，3），設出“孿生拋物線”把共點A（0，1）代入即可求解．

解答 解：初步運用：
（1）①∵把頂點關于y軸對稱，且交于y軸上同一點的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，
∴“孿生拋物線”的兩對稱軸一定關于y軸對稱；
②“孿生拋物線”的開口方向一定相同，原來的說法是錯誤的．
（2）∵拋物線y=2x²-4x-1=2（x-1）²-3，
∴它的“孿生拋物線”為y=2（x+1）²-3=2x²+4x-1，
延伸拓展：∵MM′=4，
∴M（2，y），M′（-2，y），
∵“孿生拋物線”與y軸的交點A（0，1）到線段MM′的距離為2個單位長度，
∴M（2，-1），M′（-2，-1），或M（2，3），M′（-2，3），
∴由此可設“孿生拋物線”的解析式為：y=a（x+2）²-1與y=a（x-2）²-1，
∵點A（0，1）在“孿生拋物線”的圖象上，
∴1=a×2²-1，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴“孿生拋物線”的解析式為：y=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1與y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1；
由此可設“孿生拋物線”的解析式為：y=a（x+2）²-3與y=a（x-2）²-3，
∵點A（0，1）在“孿生拋物線”的圖象上，
∴1=a×2²-3，
∴a=1，
∴“孿生拋物線”的解析式為：y=（x+2）²-3與y=（x-2）²-3．
故答案為：√；×；y=2x²+4x-1．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了新定義的理解和掌握，二次函數的性質，解決二次函數的方法一樣，解本題的關鍵是掌握“孿生拋物線”的定義．