Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延長線與BC的延長線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．

（1）求證：四邊形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S_梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬．

Answer 1

解：（1）證明：∵點A、F關于BD對稱，∴AD=DF，DE⊥AF。
又∵AD⊥DC，∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形。∴∠DAF=∠EDF=45°。
∵AD∥BC，∴∠G=∠GAF=45°。∴△BGE是等腰直角三角形。
∵M，N分別是BG，DF的中點，∴EM⊥BC，EN⊥CD。
又∵AD∥BC，AD⊥DC，∴BC⊥CD。∴四邊形EMCN是矩形。
（2）由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，∴△BCD是等腰直角三角形。∴BC=CD，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，即CD²+2CD﹣15=0。
解得CD=3，CD=﹣5（舍去）。
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴DF=AD=2。
∵N是DF的中點，∴EN=DN=DF=×2=1。
∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2。
∴矩形EMCN的長和寬分別為2，1。

試題分析：（1）根據軸對稱的性質可得AD=DF，DE⊥AF，判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出∠DAF=∠EDF=45°，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BCE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據矩形的判定證明即可。
（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據梯形的面積求出CD的長，再根據等腰直角三角形的性質求出DN，即可得解。