Question

1．如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB交于點F．過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點E，過點A作⊙O的切線交ED的延長線于點G．
（1）求證：△EFD為等腰三角形；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，只要證明∠EFD=∠EDF即可解決問題．
（2）先求得EF=1，設DE=EF=x，則OF=x+1，在Rt△ODE中，根據勾股定理求得DE=4，OE=5，根據切線的性質由AG為⊙O的切線得∠GAE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，根據相似三角形對應邊成比例即可求得．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90°，
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∵GE為⊙O的切線，
∴∠ODC+∠EDF=90°，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED．

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=OE²，
∴3²+x²=（x+1）²，解得x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG為⊙O的切線，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴$\frac{OD}{AG}$=$\frac{DE}{AE}$，即$\frac{3}{AG}$=$\frac{4}{3+5}$，
∴AG=6．

點評 本題考查了切線的判定和性質、勾股定理的應用、相似三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．