Question

13．如圖，一只蜘蛛在等腰Rt△ABC鋼梁上織網綱，∠BAC=90°，AB=AC=8，E在AB上，BE=2，要在頂梁柱AD（中線）上定一點F，從B點到F點拉網綱，再從F點到E點拉網綱．
（1）F點在AD（中線）上何處時網綱（BF+FE）最短，并證明．
（2）在（1）中，求最短網綱（BF+FE）的長度．
（3）在AB上還有點E₁、E₂，已知BE=EE₁=E₁E₂=E₂A=2，現在蜘蛛要在B、E兩點之間，E、E₁兩點之間，E₁、E₂兩點之間都要到頂梁柱AD上定一次點拉網綱，直到E₂點結束，求這些網綱之和最短時的長度？

Answer 1

分析 （1）利用軸對稱求最短路徑得出F點位置，進而利用三角形三邊關系得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性質結合勾股定理的出答案；
（3）利用（2）中解題思路，結合勾股定理求出答案．

解答 解：（1）如圖1：作E點關于直線AD的對稱點E′，連接BE′，交AD于點F，
F點即為所求，
證明：由對稱的性質可得：EF=FE′，此時BE′在一條直線上，在AD上任取一點與B，E′構成三角形，利用三角形兩邊之和大于第三邊可得BE′最小，即可得出，BF+FE最短；

（2）如圖1，過點E′，作E′N⊥BC于點N，
∵∠BAC=90°，AB=AC=8，
∴BC=8$\sqrt{2}$，
∵BE=2，則CE′=2，
∴E′C=NC=$\sqrt{2}$，
∴BN=7$\sqrt{2}$，
在△BNE′中，BE′=$\sqrt{（7\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=10；

（3）如圖2，由（2）可得：BF+EF=10，
同理可得：EF₁+E₁F₁=EM=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$，E₁K=E₁F₂+E₂F₂=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
故這些網綱之和最短時的長度和為：10+2$\sqrt{13}$+2$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了利用軸對稱取最短路線以及勾股定理，正確利用軸對稱求出F點位置是解題關鍵．