Question

15．已知二次方程x²-3x+1=0的兩根為α，β，求：α⁴+β⁴和α³-β³．

Answer 1

分析 根據根與系數的關系，寫出α+β和αβ的值，再把要求的代數式轉化成含有α+β和αβ的形式，求出代數式的值．

解答 解：∵二次方程x²-3x+1=0的兩根為α，β，
∴α+β=3，αβ=1，
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=3²-2×1=7，
（α-β）²=（α+β）²-4αβ=3²-4×1=5，
∴α-β=±$\sqrt{5}$．
α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2α²β²=7²-2×1²=47．
α³-β³=（α-β）（α²+αβ+β²）=±$\sqrt{5}$（7+1）=±8$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．