Question

6．如圖，將等腰Rt△ABC放置在平面直角坐標系中，∠CAB=90°，AC=AB．
（1）如圖1，點B，C分別在x，y軸上，求證：點A在∠BOC的角平分線上；
（2）如圖2，已知A（3，0），C（0，4），求點B的坐標；
（3）如圖3，點A，C分別在x，y軸上，點E為BC上一點，以AE為邊作等腰Rt△AED，∠AED=90°，連接CD，求∠ACD的度數．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質得出∠ABC=∠ACB=45°，證明A、B、O、C四點共圓，由圓周角定理得出∠AOC=∠ABC=45°，∠AOB=∠ACB=45°，即可得出結論；
（2）作BM⊥x軸于m，證出∠ABM=∠CAO，由AAS證明△ABM≌△ACO，得出BM=OA=3，AM=OC=4，求出OM=7，即可得出點B的坐標；
（3）由等腰直角三角形的性質得出∠ADE=45°=∠ACB，證出A、E、D、C四點共圓，由圓內接四邊形的性質得出∠ACD+∠AED=180°，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵∠CAB=90°，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACB+∠BOC=90°+90°=180°，
∴A、B、O、C四點共圓，
∴∠AOC=∠ABC=45°，∠AOB=∠ACB=45°，
∴∠AOC=∠AOB，
∴OA平分∠BOC，
即點A在∠BOC的角平分線上；
（2）解：∵A（3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4，
作BM⊥x軸于M，如圖所示：
則∠BMA=90°=∠AOC，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠BAM+∠CAO=90°，
∴∠ABM=∠CAO，
在△ABM和△ACO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠CAO}&{\;}\\{∠BMA=∠AOC}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACO（AAS），
∴BM=OA=3，AM=OC=4，
∴OM=OA+AM=3+4=7，
∴點B的坐標為（7，3）；
（3）解：∵△AED是等腰直角三角形，
∴∠AED=90°，∠ADE=45°=∠ACB，
∴A、E、D、C四點共圓，
∴∠ACD+∠AED=180°，
∴∠ACD=90°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、四點共圓、圓周角定理、等腰直角三角形的性質、圓內接四邊形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度．