Question

如圖，是某空軍部隊進行射擊訓練時在平面直角坐標系中的示意圖，在地面O、A兩個觀測點測得空中固定目標C的仰角分別是α和β，OA=1千米，，位于O點的正上方千米D點處的直升飛機向目標C發射防空導彈，該導彈運行達到距地面最大3千米時，相應水平距離為4千米．（即圖中E點）
（1）若導彈運行軌道為一拋物線，求該拋物線的解析式；
（2）按以上軌道運行的導彈能否擊中目標C？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵頂點E的坐標為（4，3）．
∴設函數的表達式為y=a（x-4）²+3．
將D（0，）代入得，a=-．
∴y=-（x-4）²+3
=-x²+x+．

（2）過點C作CF⊥x軸于點F，tanα=．
∵tanα=，=，
∴OF=CF．
∵tanβ=，
∴=，∴AF=CF．
∵OF-AF=OA=1，
∴CF-CF=1，
∴CF=，OF=CF=×=7，
∴C（7，）．
把x=7代入y=-x²+x+．
得y=．
∴點C在拋物線上，
∴導彈能擊中目標C．
分析：（1）依題意得拋物線頂點E（4，3），經過D（0，），這頂點式，可求拋物線解析式；
（2）過C點作x軸的垂線，垂足為F，解直角三角形OCF、ACF，可得CF，OF的長，從而可得點C的坐標，判斷點C是否滿足拋物線解析式．
點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．