Question

9．解答題
觀察下列式子：（1）$\frac{1}{2}$；（2）$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$；（3）$\frac{1}{6}$+$\frac{3}{6}$+$\frac{5}{6}$；（4）$\frac{1}{8}$+$\frac{3}{8}$+$\frac{5}{8}$+$\frac{7}{8}$；…．
（1）請按此規律，寫出第（7）個式子；
（2）請按此規律，寫出第（n）個式子；
（3）計算：（1）$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$=1；（2）$\frac{1}{6}$+$\frac{3}{6}$+$\frac{5}{6}$=$\frac{3}{2}$；（3）$\frac{1}{8}$+$\frac{3}{8}$+$\frac{5}{8}$+$\frac{7}{8}$=2．
（4）計算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{3}{6}$+$\frac{5}{6}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{3}{8}$+$\frac{5}{8}$+$\frac{7}{8}$+…+$\frac{1}{200}$+$\frac{2}{200}$+…+$\frac{199}{200}$．

Answer 1

分析 （1）由所給式子發現，分母為2=2×1，2×2=4，2×3=6，2×4=8…，所以第7個式子分母為2×7=14；分子分別為1，3，5，7，9，11，13，可得結果；
（2）由規律可得第n個式子分母為2n，分子為1，3，5，7，9，…，2n-1，可得結果；
（3）直接利用分數的加法運算法則計算即可；
（4）由（3）的運算結果發現，第1個式子和為$\frac{1}{2}$；第2個式子和為$\frac{1}{2}×2$；第3個式子和為$\frac{1}{2}$×3；第4個式子和為$\frac{1}{2}×4$；…分母為200時，為第100個式子，所以和為$\frac{1}{2}×100$，然后再運算即可．

解答 解：（1）∵分母為：2=2×1，2×2=4，2×3=6，2×4=8，
…，
∴第7個式子分母為：2×7=14，
分子分別為1、3、5、7、9、11、13，
∴第七個式子為：$\frac{1}{14}$+$\frac{3}{14}$$+\frac{5}{14}$$+\frac{7}{14}$$+\frac{9}{14}$$+\frac{11}{14}$$+\frac{13}{14}$；

（2）由規律可得，
第n個式子分母為2n，分子為1，3，5，7，9，…，2n-1，
∴第n個式子為：$\frac{1}{2n}+\frac{3}{2n}+\frac{5}{2n}+\frac{7}{2n}+$…+$\frac{2n-1}{2n}$；

（3）$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$=1；（2）$\frac{1}{6}$+$\frac{3}{6}$+$\frac{5}{6}$=$\frac{3}{2}$；（3）$\frac{1}{8}$+$\frac{3}{8}$+$\frac{5}{8}$+$\frac{7}{8}$=2．
故答案為：1；$\frac{3}{2}$；2；

（4）由（3）的運算結果發現，
第1個式子和為$\frac{1}{2}$；
第2個式子和為$\frac{1}{2}×2$；
第3個式子和為$\frac{1}{2}$×3；
第4個式子和為$\frac{1}{2}×4$；
…
分母為200時，為第100個式子，所以和為$\frac{1}{2}×100$，
原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×2+\frac{1}{2}×3+\frac{1}{2}×4+$…+$\frac{1}{2}×$100=$\frac{1}{2}$×（1+2+3+4+…+100）
=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}×$（1+100）×100
=2525．

點評 本題主要考查了數字的變化規律，發現規律，運用規律是解答此題的關鍵．