Question

13．如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周長為21cm，求AB的長；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度數．

Answer 1

分析 （1）根據△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，可知AM=CM，CN=BN，可知△CMN的周長即為AB的長．
（2）根據垂直平分線的性質可知，∠1=∠2，∠3=∠4，根據三角形的內角和定理，整體求出∠1+∠4的值，進而可得∠ACB的度數．

解答 解：（1）∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，CN=BN，
∵△CMN的周長為18cm，即CM+CN+MN=18，
∴AM+BN+MN=AB=18cm．
∴AB=18cm．

（2）∵DM垂直平分AC，
∴∠1=∠2，
∵EN垂直平分BC，
∴∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，
則2（∠1+∠4）=180°-50°=130°，
∠1+∠4═65°，
∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°．

點評 此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識，由線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，可得到等腰三角形△AMC、△CNB，再利用等腰三角形的兩底角相等，得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據三角形的內角和等于180°求出∠1+∠4，便可解答．