Question

如圖，已知BC與⊙O相切于點D，A為⊙O上的動點，OE⊥OA，OE分別與BC、AD交于點E、F．
（1）試說明△DEF是等腰三角形；
（2）當∠A=

 

°時，△DEF是等邊三角形．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：（1）連接OD，根據切線的性質得出OD⊥BC，然后根據等角的余角相等求得∠FDE=∠EFD，根據等角對等邊即可證得△DEF是等腰三角形；
（2）根據等邊三角形的性質，得出∠EFD=60°，從而證得∠AFO=60°，根據直角三角形兩銳角互余即可求得∠A=30°．

解答： 解：（1）連接OD，∵BC與⊙O相切于點D，
∴OD⊥BC，即∠ODA+∠FDE=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
∴∠A+∠FDE=90°，
∵OE⊥OA，
∴∠A+∠AFO=90°，
∴∠FDE=∠AFO，
∵∠AFO=∠EFD，
∴∠FDE=∠EFD，
∴ED=EF，
故△DEF是等腰三角形；
（2）要使△DEF是等邊三角形，則∠EFD=60°，
∴∠AFO=60°，
∵OE⊥OA，
∴∠A=30°，
故當∠A=30°時，△DEF是等邊三角形．
故答案為30．

點評：本題考查了切線的性質，等腰三角形的判定，等邊三角形的性質等，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．