Question

如圖，△ACB是等腰直角三角形，AC=BC，做射線CP，使∠ACP=20°，點A關于CP的對稱點是D，連接AD交CP于點F，連接BD交CP于點E．
（1）求∠CBD的度數；
（2）用等式表示線段DE、EB、AB之間的數量關系，并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接DC，證明△DCF與△ACF全等，可得DC=AC，再得出DC=BC，△DCB是等腰三角形，得出∠CBD的度數即可；
（2）連接AE，根據線段垂直平分線，得出DE=AE，根據三角形內角和得出∠AEB=90°，再根據勾股定理得出AE、EB、AB的關系，可得DE、EB、AB的關系即可．

解答： 解：（1）連接DC，
∵點A關于CP的對稱點是D，
∴CP⊥AD，DF=AF，
∴CD=CA，∠DCP=∠PCA=20°
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴DC=BC
∴∠CBD=∠CDB=

1

2

×(180°-20°-20°-90°)=25°；
（2）DE²+EB²=AB²，證明如下：
連接AE，
∵在△CDE與△CAE中，

CD=CA ∠DCE=∠ACE CE=CE

∴△CDE≌△CAE（SAS），
∴∠EAC=∠CDB=25°，
∴∠AEB=180°-25°-45°-（45°-25°）=90°，
∴△AEB是Rt△，
∴AE²+EB²=AB²，
∵CP⊥AD，DF=AF，
∴DE=AE，
∴DE²+EB²=AB²．

點評：此題考查全等三角形的判定和性質問題，注意勾股定理的應用，此題難度較大．