Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E為AB上任意一動點，以CE為斜邊作等腰直角△CDE，連接AD，
（1）當點E運動過程中∠BCE與∠ACD的關系是______．
（2）AD與BC有什么位置關系？說明理由．
（3）四邊形ABCD的面積是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果沒有，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，BC=2，
∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE，∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；即∠BCE=∠ACD．
故答案為：相等；

（2）AD∥BC，理由如下：
∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，
∴==，
∴=，
∵由（1）知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC，
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，
∴AD∥BC；

（3）四邊形ABCD的面積有最大值，理由如下：
∵△ABC的面積為定值，
∴若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；
∵△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），
∴若△ACD的面積最大，則AD的長最大；
∵△BEC∽△ADC，
∴當AD最長時，BE也最長；
∴梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=，AD=1；
故S_梯形ABCD=（1+2）×1=．
分析：（1）先根據等腰三角形的性質得出AB=AC=BC=，CD=DE=CE，∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；再由∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE即可得出結論；
（2））因為△ABC、△DCE都是等腰Rt△，所以==，所以=，由（1）知∠ECB=∠DCA，故△BEC∽△ADC，所以∠DAC=∠B=45°，∠DAC=∠BCA=45°，由此即可得出結論；
（3））因為△ABC的面積為定值，所以若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；在△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），所以若△ACD的面積最大，則AD的長最大；由（2）知△BEC∽△ADC，所以當AD最長時，BE也最長；所以梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=，AD=1，再由梯形的面積公式即可得出結論．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到等腰直角三角形的性質、平行線的判定、相似三角形的判定和性質、圖形面積的求法等知識，綜合性強，難度較大．