Question

19．在平面直角坐標系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點M為頂點，連接OM，若y與x的部分對應值如表所示：

x	…	-1	0	3	…
y	…	0	3/2	0	…

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線與y軸交于點C，點Q是直線BC下方拋物線上一點，點Q的橫坐標為x_Q．若S_△BCQ≥$\frac{1}{2}$S_△BOC，求x_Q的取值范圍；
（3）如圖2，平移此拋物線使其頂點為坐標原點，P（0，-1）為y軸上一點，E為拋物線上y軸左側的一個動點，從E點發出的光線沿EP方向經過y軸上反射后與此拋物線交于另一點F．則當E點位置變化時，直線EF是否經過某個定點？如果是，請求出此定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，（-1，0），（3，0），即可求得拋物線的解析式；
（2）首先取OB的中點P（$\frac{3}{2}$，0），連接CP，然后過點P作PQ∥BC交拋物線于Q，即為所求；首先求得直線BC的解析式，然后由平行線的性質，求得直線PQ的解析式，再聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即可求得答案；
（3）首先得到平移后的拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²，再過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥y軸于N，易得Rt△EPM∽Rt△FPN，再聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，即可求得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，（-1，0），（3，0），
∴y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-3），
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$；

（2）取OB的中點P（$\frac{3}{2}$，0），連接CP，
則S_△PBC=$\frac{1}{2}$S_△BOC，
過點P作PQ∥BC交拋物線于Q，即為所求；
∵拋物線與y軸交于點C，
∴點C的坐標為：（0，$\frac{3}{2}$），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
∴設直線PQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+n，
∴-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$+n=0，
∴n=$\frac{3}{4}$，
∴直線PQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{-3±\sqrt{3}}{2}$，
若S_△BCQ≥$\frac{1}{2}$S_△BOC
則x_Q的取值范圍為：x_Q≥$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$或x_Q≤$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$；

（3）平移后的拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²，
過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥y軸于N，
由反射可知：∠EPM=∠FPN，
∴Rt△EPM∽Rt△FPN，
∴$\frac{KM}{FN}$=$\frac{PM}{PN}$，
設E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），設直線EF的解析式為y=kx+b，
∴$\frac{-{x}_{1}}{-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+1}{-1-{y}_{2}}$，
∴x₁（1+y₂）+x₂（y₁+1）=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
整理得x²+2kx+2b=0，
∴x₁+x₂=-2k，x₁x₂=2b，
∵x₁（1+y₂）+x₂（y₁+1）=x₁（1+kx₂+b）+x₂（kx₁+b+1）=0，
∴2bx₁x₂+（b+1）（x₁+x₂）=0，
∴2kb-2k=0，b=1，
∴直線EF的解析式為y=kx+1
∴直線EF的過定點（0，1）．

點評 此題屬于二次函數的綜合題．考查了相似三角形的判定與性質、待定系數法求函數的解析式以及函數的交點問題．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．