Question

15．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=12厘米，高AD=8厘米，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上
（1）當PN=PQ時，PN的長度是多少？
（2）設PN的長度是x厘米，PQ的長度是y厘米時，求y與x之間的函數關系式及相應的自變量取值范圍．
（3）當PN的長度是多少時，矩形零件PQMN的面積最大？

Answer 1

分析 （1）當PN=PQ時，矩形PQMN是正方形，設PN長為x厘米，由正方形的性質得出PN∥BC，PQ∥AD，根據平行線的性質，可以得出比例關系式$\frac{PQ}{AD}$=$\frac{BP}{AB}$、$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，代入數據求解即可；
（2）先證明△APN∽△ABC，再根據相似三角形對應邊的比等于對應高的比列出比例式，即可求解；
（3）根據矩形面積公式得到關于x的二次函數，根據二次函數求出矩形的最大值．

解答 解：（1）∵PN=PQ，
∴矩形PQMN為正方形，
∴PN∥BC，PQ∥AD，
根據平行線的性質可以得出：$\frac{PQ}{AD}$=$\frac{BP}{AB}$、$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
設PN長為x厘米，則PQ=x，BC=12，AD=8，PN=x，
即$\frac{x}{8}$=$\frac{BP}{AB}$、$\frac{x}{12}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵AP+BP=AB，
∴$\frac{x}{8}$+$\frac{x}{12}$=$\frac{BP}{AB}$+$\frac{AP}{AB}$=1，
解得x=$\frac{24}{5}$．
答：當PN=PQ時，PN的長度是$\frac{24}{5}$厘米；

（2）設PN的長度是x厘米，PQ的長度是y厘米時，
∵四邊形PQMN為矩形，
∴BC∥PN，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，$\frac{x}{12}$=$\frac{8-y}{8}$，
∴y與x之間的函數關系式為y=8-$\frac{2}{3}$x（0＜x＜12）；

（3）矩形PQMN面積=xy=x（8-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+8x=-$\frac{2}{3}$（x-6）²+24，
故當PN的長度是6厘米時，矩形零件PQMN的面積最大，最大面積為24平方厘米．

點評 本題考查的是相似三角形的應用，利用矩形的面積公式得到關于x的二次函數，根據二次函數的性質，確定x的取值和面積的最大值是解題關鍵．