Question

7．在Rt△ABC中，以AB上一點O為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O于AC相切于點E，分別交AB、BC于點D、F，已知OB=3．
（I）如圖①，若AC=8，BC=6，求AE，AD的長；
（Ⅱ）如圖②，連接OE、OF、EF，若EF∥AB，求AE，AD的長．

Answer 1

分析 （I）如圖①，先利用勾股定理求AB=10，由半徑OB=3，求AD=4，再根據切線的性質證明OE⊥AC，從而得△AOE∽△ABC，列比列式可求得AE的長；
（II）如圖②，證明四邊形EOBF是平行四邊形，從而得△EOF是等邊三角形，求出∠A=30°，在直角三角形中依次求出AD和AE的長即可．

解答 解：（I）如圖①，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：AB=10，
∵OB=OD=3，
∴AD=10-3-3=4，
連接OE，
∵⊙O于AC相切于點E，
∴OE⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{3}{6}=\frac{AE}{8}$，
∴AE=4；
（II）如圖②，∵⊙O于AC相切于點E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC=90°，
∴∠CEF+∠OEF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠OEF=∠CFE，
∴OE∥BC，
∵EF∥AB，
∴四邊形EOBF是平行四邊形，
∴EF=OB=3，
∴OE=OF=EF=3，
∴△EOF是等邊三角形，
∴∠EOF=∠OEF=∠OFE=60°，
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OEF=60°，
在Rt△AEO中，∴∠A=30°，
∵OE=3，
∴AO=6，
AE=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=AO-OD=6-3=3．

點評 此題考查了切線的性質，平行四邊形的判定，等邊三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握性質及判定是解本題的關鍵，第二問的突破口是能正確證明四邊形EOBF是平行四邊形，另外本題也是易錯題，第二問時不能應用第一問的條件．